28 girafas são camarões, e 37 camarões são verdes. considerando que existem 82 girafas no total, 50 são verdes e 15 das girafas não verdes não são camarões, quantos camarões verdes que não são girafas existem?
A importância da análise de conjuntos na matemática
A matemática é uma ciência que se baseia em conceitos abstratos e estruturas lógicas. Dentre essas estruturas, encontramos os conjuntos, que são fundamentais para o desenvolvimento de muitas áreas da matemática, como a teoria dos números, a álgebra e a análise. A análise de conjuntos consiste em estudar as relações entre os elementos de um conjunto e de outros conjuntos relacionados, permitindo a solução de diversos problemas matemáticos.
O enunciado apresentado no início do artigo é um exemplo de problema que pode ser resolvido através da análise de conjuntos. A seguir, vamos explorar como a análise de conjuntos é utilizada para resolver esse problema.
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Entendendo os conjuntos apresentados no problema
O enunciado apresenta três conjuntos: girafas, camarões e girafas-camarões. Para entendermos melhor a relação entre esses conjuntos, podemos representá-los através de diagramas de Venn, que são formas visuais de mostrar as relações entre conjuntos.
O primeiro conjunto apresentado é o conjunto das girafas, que contém 82 elementos. Dessas girafas, 50 são verdes e 32 são de outra cor, conforme informado no enunciado.
O segundo conjunto é o conjunto dos camarões, que contém 37 elementos. O enunciado informa que 37 camarões são verdes, mas não faz sentido matematicamente. Vamos considerar que 37 camarões existem, mas não sabemos a quantidade de camarões verdes.
O terceiro conjunto é o conjunto das girafas-camarões, que contém 28 elementos. Esses são os elementos que pertencem aos dois conjuntos simultaneamente, ou seja, são as girafas que também são camarões. Dessa forma, é possível observar que existem girafas que também são camarões, o que parece improvável na realidade, mas é válido para a análise matemática.
Resolvendo o problema através da análise de conjuntos
Para responder à pergunta do enunciado, precisamos saber quantos camarões verdes que não são girafas existem. Podemos representar esse conjunto como C-G, onde C é o conjunto dos camarões e G é o conjunto das girafas-camarões.
Para encontrar a quantidade de elementos desse conjunto, basta subtrair a quantidade de elementos de G (28) do número de camarões verdes (que não sabemos a quantidade exata, mas vamos chamar de x). Assim, temos:
C-G = x – 28
No entanto, o enunciado nos fornece outra informação importante: 15 das girafas não verdes não são camarões. Podemos representar esse conjunto como G’-C’, onde G’ é o conjunto das girafas que não são verdes e C’ é o conjunto dos camarões que não são girafas. Dessa forma, podemos escrever:
G’-C’ = 15
A partir dessas informações, podemos utilizar as propriedades dos conjuntos para chegar à solução. Sabemos que a união de G e G’ é igual ao conjunto das girafas (ou seja, todos os elementos estão contidos em um desses dois conjuntos), assim como a união de C e C’ é igual ao conjunto dos camarões. Podemos escrever:
G U G
= todas as girafas C U C’ = todos os camarões
Além disso, sabemos que a interseção de G e C é igual a G-C, ou seja, as girafas que também são camarões. Podemos escrever:
G ∩ C = G-C = 28
A partir dessas informações, podemos montar um sistema de equações que nos permita calcular o valor de x, que é a quantidade de camarões verdes que não são girafas. Temos:
G U G’ = todas as girafas C U C’ = todos os camarões G ∩ C = G-C = 28 G’-C’ = 15
Podemos utilizar a seguinte estratégia: primeiro, escrevemos C’ em função de C, utilizando a relação entre os conjuntos G, G’ e C. Depois, substituímos esse valor na equação G’-C’ = 15, obtendo uma equação que contém apenas a variável x. Assim, podemos resolver para x e encontrar a resposta do problema.
Para escrever C’ em função de C, podemos utilizar a propriedade de complementaridade dos conjuntos. Temos:
C U (C’ ∩ G) = todos os camarões
Isso significa que todo camarão é ou não é uma girafa-camarão. Podemos escrever:
C = (C ∩ G) U (C ∩ G’)
A partir dessa equação, podemos isolar C’ e escrevê-lo em função de C e G’:
C’ = (todos os camarões) – C = (C’ ∩ G) U (C’ ∩ G’)
C’ ∩ G = (todos os camarões que são girafas) – (C’ ∩ G’) C’ ∩ G = 28
Substituindo o valor de C’ ∩ G na equação G’-C’ = 15, temos:
G’ – (28 + C’ ∩ G’) = 15 G’ – 28 – C’ ∩ G’ = 15 G’ – C’ ∩ G’ = 43
Agora podemos substituir C’ em função de C e G’ nessa equação, obtendo:
G’ – (todos os camarões que são girafas-camarões) = 43
Sabemos que G’ contém as girafas que não são verdes e não são camarões. Portanto, podemos escrever:
G’ = (todas as girafas) – (girafas verdes) – (girafas-camarões que não são verdes)
G’ = 82 – 50 – (28 – C’ ∩ G’)
G’ = 4 + C’ ∩ G’
Substituindo esse valor na equação acima, temos:
4 + C’ ∩ G’ – C’ ∩ G’ = 43
4 = 43
Isso é uma contradição! Portanto, não existe solução para o problema proposto. Alguma informação deve estar incorreta ou faltando, pois as informações apresentadas são inconsistentes e levam a uma contradição matemática.
