A diferença de qualquer número racional e qualquer número irracional é um número irracional.
A diferença entre números racionais e irracionais é um conceito fundamental na matemática. Neste artigo, iremos explorar essa diferença e apresentar a prova de que a diferença entre qualquer número racional e qualquer número irracional é um número irracional. Além disso, explicaremos o método dedutivo utilizado para desenvolver a prova.
O que são números racionais e irracionais?
Antes de apresentarmos a prova, é importante entender o que são números racionais e irracionais. Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma fração onde o numerador e o denominador são números inteiros. Por exemplo, 1/2, 2/3 e 3/4 são números racionais.
Já um número irracional é qualquer número que não pode ser escrito como uma fração onde o numerador e o denominador são números inteiros. Por exemplo, √2, π e e são números irracionais.
Prova de que a diferença entre qualquer número racional e qualquer número irracional é um número irracional
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Agora, vamos apresentar a prova de que a diferença entre qualquer número racional e qualquer número irracional é um número irracional. A prova é baseada na suposição contrária de que a diferença entre um número racional e um número irracional é um número racional.
Suponha que não, suponha que exista um número racional x e um número irracional y, de modo que (x-y) é racional. Por definição de racional temos:
x = a/b, onde a e b são inteiros e b ≠ 0. y = c, onde c é um número irracional. x – y = a/b – c x – y = (a – bc) / b
Se (x – y) é racional, então (a – bc) / b é racional. Mas isso implica que c é racional, o que contradiz nossa suposição de que c é irracional. Portanto, concluímos que a diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional.
Método dedutivo utilizado para desenvolver a prova
O método dedutivo utilizado para desenvolver a prova acima é o método da contradição. Esse método é baseado na suposição de que a afirmação a ser provada é falsa e, em seguida, mostrando que essa suposição leva a uma contradição.
No caso da prova acima, supomos que a diferença entre um número racional e um número irracional é um número racional. Em seguida, usamos essa suposição para mostrar que isso leva a uma contradição, ou seja, a conclusão de que o número irracional é, na verdade, um número racional.
Conclusão
Neste artigo, exploramos a diferença entre números racionais e irracionais e apresentamos a prova de que a diferença entre qualquer número racional e qualquer número irracional é um número irracional. Além disso, explicamos o método dedutivo utilizado para desenvolver a prova. É importante lembrar que essa prova é fundamental para a compreensão de muitos outros conceitos matemáticos e é uma das muitas ferramentas disponíveis para estudantes e pesquisadores da matemática.
