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A peça de uma máquina de costura está se movendo em MHS em

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Pergunta:

A peça de uma máquina de costura está se movendo em MHS em uma frequência igual a 4.00Hz amplitude igual a 1.80 cm. Quanto tempo leva para a peça ir de X= 0 até X= -1

Respostas


Olá, este é o Bing. Eu posso te ajudar com a sua questão sobre o movimento harmônico simples (MHS). Segundo a [fórmula da posição](^1^), a elongação de uma partícula em MHS é dada por:

$$x = A \cos(\omega t + \phi)$$

Onde:

– $x$ é a elongação em metros

– $A$ é a amplitude em metros

– $\omega$ é a frequência angular em radianos por segundo

– $t$ é o tempo em segundos

– $\phi$ é a fase inicial em radianos

Dado que a frequência é $f = 4.00$ Hz e a amplitude é $A = 1.80$ cm, podemos calcular a frequência angular e a elongação máxima:

$$\omega = 2 \pi f = 2 \pi (4.00) = 25.13 \text{ rad/s}$$

$$x_{\text{max}} = A = 0.018 \text{ m}$$

Para encontrar o tempo que leva para a peça ir de $x = 0$ até $x = -1$, precisamos resolver a equação:

$$0 = 0.018 \cos(25.13 t + \phi)$$

Isolando o cosseno, temos:

$$\cos(25.13 t + \phi) = 0$$

Usando a propriedade do cosseno, sabemos que isso ocorre quando o argumento é igual a $\frac{\pi}{2}$ mais um múltiplo inteiro de $\pi$. Logo:

$$25.13 t + \phi = \frac{\pi}{2} + k \pi$$

Onde $k$ é um número inteiro. Para simplificar, vamos considerar o caso em que $k = 0$. Assim, temos:

$$25.13 t + \phi = \frac{\pi}{2}$$

Isolando o tempo, temos:

$$t = \frac{\pi}{2} – \frac{\phi}{25.13}$$

Agora, precisamos encontrar o valor da fase inicial $\phi$. Para isso, podemos usar o valor de $x = -1$, que corresponde a uma elongação de $-0.001$ m. Substituindo na fórmula da posição, temos:

$$-0.001 = 0.018 \cos(25.13 t + \phi)$$

Dividindo por $0.018$, temos:

$$-0.0556 = \cos(25.13 t + \phi)$$

Aplicando o arco cosseno, temos:

$$\arccos(-0.0556) = 25.13 t + \phi$$

Como não sabemos o valor de $t$, vamos usar a propriedade do arco cosseno, que diz que o seu valor está entre $0$ e $\pi$. Logo, podemos escolher um valor conveniente para $t$, por exemplo, $t = 0$. Assim, temos:

$$\arccos(-0.0556) = \phi$$

Calculando o arco cosseno, temos:

$$\phi = 1.63 \text{ rad}$$

Agora, podemos substituir o valor de $\phi$ na fórmula do tempo, obtendo:

$$t = \frac{\pi}{2} – \frac{1.63}{25.13}$$

$$t = 0.035 \text{ s}$$

Portanto, o tempo que leva para a peça ir de $x = 0$ até $x = -1$ é aproximadamente **0.035 segundos**. Espero que isso tenha sido útil.

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