Pergunta:
Determine se as afirmações a seguir são (V) verdadeiras ou (F) falsas: I. W={(x,y)∈R2:y=0} é um subespaço vetorial de R2. II. U={(x,y,z)∈R3:x=1} é um subespaço vetorial de R3. III. V={(xzyt)∈M2(R):y=−x} é um subespaço vetorial de M2(R).
As afirmações (I) e (III) são verdadeiras, enquanto a afirmação (II) é falsa. Um exemplo de subespaço vetorial de R2 é o conjunto de todos os vetores da forma (x,y), onde x e y são números reais. Um exemplo de subespaço vetorial de M2(R) é o conjunto de todas as matrizes da forma (a00b), onde a e b são números reais.
Para que um conjunto seja um subespaço vetorial, ele deve satisfazer os seguintes axiomas:
- O conjunto deve ser não vazio.
- O conjunto deve ser fechado sob adição de vetores.
- O conjunto deve ser fechado sob multiplicação por escalares.
(I) W={(x,y)∈R2:y=0} é um subespaço vetorial de R2 porque:
- O conjunto não é vazio, pois contém o vetor (0,0).
- O conjunto é fechado sob adição de vetores, pois se (x,0) e (y,0) pertencem a W, então (x,0)+(y,0)=(x+y,0) também pertence a W.
- O conjunto é fechado sob multiplicação por escalares, pois se (x,0) pertence a W, então c(x,0)=(cx,0) também pertence a W, para qualquer escalar c.
(II) U={(x,y,z)∈R3:x=1} não é um subespaço vetorial de R3 porque não é fechado sob adição de vetores. Por exemplo, os vetores (1,0,0) e (1,1,0) pertencem a U, mas sua soma (2,1,0) não pertence a U, pois sua primeira coordenada não é igual a 1.
(III) V={(xzyt)∈M2(R):y=−x} é um subespaço vetorial de M2(R) porque:
- O conjunto não é vazio, pois contém a matriz identidade (1001).
- O conjunto é fechado sob adição de matrizes, pois se (xzyt)∈V e (x′y′z′t′)∈V, então (xzyt)+(x′y′z′t′)=(x+x′,z+z′,y+y′,t+t′) também pertence a V.
- O conjunto é fechado sob multiplicação por escalares, pois se (xzyt)∈V, então c(xzyt)=(cx,cz,cy,ct) também pertence a V, para qualquer escalar c.
#SPJ1