Pergunta:
Pucpr 2021 o conjunto solução em r (conjunto dos reais) da equação logarítmica log (x 2) log (x – 1) é:
Enunciado
O conjunto solução em ℝ (conjunto dos reais) da equação logarítmica
log(x + 2) + log (x – 1) = 1 é:
a)s={1,2}
b) s={-3,4}
c) s={3}
d) s={3,4}
Após a realização dos cálculos ✍️,podemos concluir mediante ao conhecimento de equação logarítmica que s={3} portanto
alternativa c ✅
Logaritmo
Chama-se logaritmo de um número real b positivo, na base a positiva e diferente de 1, ao expoente x a qual se deve elevar a para obter b.
matematicamente
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\rm \log_ab=x\iff a^x=b\,onde\,\begin{cases}\rm b > 0\\\rm a > 0\\\rm a\ne1\end{cases}\end{array}}}[/tex]
Propriedades operatórias dos logaritmos
Satisfeitas as condições de existência, as operações abaixo são verdadeiras:
logaritmo do produto
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\rm \log_c(a\cdot b)=\log_ca+\log_cb\end{array}}[/tex]
logaritmo do quociente
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\rm \log_c\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)=\log_ca-\log_cb\end{array}}[/tex]
logaritmo da potência
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\rm \log_ca^n=n\cdot\log_ca\end{array}}[/tex]
mudança de base
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\rm\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\end{array}}[/tex]
Consequências da mudança de base
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\rm \log_{b^n}a=\dfrac{1}{n}\cdot\log_ba\\\\\\\rm \log_{a^n}a^m=\dfrac{m}{n}\end{array}}[/tex]
Equações logarítmicas
Chama-se equação logarítmica a toda equação em que se figura logaritmos . Para resolver uma equação logarítmica é preciso conhecer as condições de existência e só depois resolver a equação.
✍️Vamos a resolução do exercício
Aqui vamos determinar a condição de existência para depois utilizar a propriedade do logaritmo do produto e assim resolver a equação.
Condição de existência
[tex]\sf x+2 > 0\\\sf x > -2\implies c_{_1}=\{x\in\mathbb{R}/x > -2\}\\\sf x-1 > 0\\\sf x > 1\implies c_{_2}=\{x\in\mathbb{R}/x > 1\}\\\sf C\,E=s_{_1}\cap s_{_2}\\\sf C\,E=\{x\in\mathbb{R}/x > 1\}[/tex]
Agora podemos resolver a equação:
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf \log(x+2)+\log(x-1)=1\\\sf \log(x+2)\cdot (x-1)=1\\\sf(x+2)(x-1)=10^1\\\sf (x+2)(x-1)=10\\\sf x^2+(2-1)x+2\cdot(-1)=10\\\sf x^2+x-2-10=0\\\sf x^2+x-12=0\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf \Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-12)\\\sf\Delta=1+48\\\sf\Delta=49\\\sf x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\sf x=\dfrac{-1\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}\\\\\sf x=\dfrac{-1\pm7}{2}\begin{cases}\sf x_{_1}=\dfrac{-1+7}{2}=\dfrac{6}{2}=3\\\\\sf x_{_2}=\dfrac{-1-7}{2}=-\dfrac{8}{2}=-4\end{cases}\end{array}}}[/tex]
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf Como\,x > 1\,ent\tilde ao\\\sf s=\{3\}\end{array}}}[/tex]
Saiba mais em:
- brainly.com.br/tarefa/54809534
- brainly.com.br/tarefa/43988431