Se o polinômio 9x² 12x k é um quadrado perfeito, então k é um número

Se o polinômio 9x² 12x k é um quadrado perfeito, então k é um número Neste artigo, exploraremos o polinômio 9x² + 12x + k e investigaremos sob quais condições o polinômio pode ser considerado um quadrado perfeito. Além disso, examinaremos as alternativas fornecidas em relação ao valor de k e determinaremos qual delas é correta.

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O Polinômio 9x² + 12x + k como um Quadrado Perfeito

O Conceito de Quadrado Perfeito

Antes de prosseguirmos, é importante entender o que significa um quadrado perfeito. Em termos matemáticos, um quadrado perfeito é um número ou um polinômio que pode ser expresso como o produto de dois fatores idênticos. No caso de um polinômio, ele deve ser fatorado em termos quadrados perfeitos.

Condições para um Polinômio ser um Quadrado Perfeito

Existem duas condições que devem ser satisfeitas para que um polinômio seja considerado um quadrado perfeito:

1. Todos os termos do polinômio devem ser quadrados perfeitos.
2. Um dos termos deve ser igual ao dobro do produto das raízes quadradas dos outros termos.

Análise do Polinômio 9x² + 12x + k

Vamos agora analisar o polinômio dado: 9x² + 12x + k.

• O termo 9x² é um quadrado perfeito, pois pode ser expresso como (3x)².
• No entanto, o termo 12x não é um quadrado perfeito.

Para que o polinômio seja um quadrado perfeito, o termo que não é um quadrado perfeito (12x) deve ser igual ao dobro do produto das raízes quadradas dos outros termos (9x² e k).

Relação entre os Termos e o Valor de k

Considerando as raízes quadradas dos termos:

• O termo 12x deve ser igual ao dobro do produto das raízes quadradas dos outros termos. Portanto, temos:

12x = 2 * 3x * √k

Simplificando a expressão:

12x = 6x√k

Dividindo ambos os lados por 6x, obtemos:

√k = 2

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

k = 4

Determinando a Alternativa Correta

Agora que encontramos o valor de k, que é igual a 4, podemos verificar qual das alternativas fornecidas é correta.

As alternativas são:

1. Divisível por 2.
2. Maior que 10.
3. Divisível por 5.
4. Menor que 4.
5. Divisível por 3.

Ao analisar as alternativas, percebemos que apenas a Alternativa 1 – k é um número divisível por 2 corresponde ao valor de k = 4 que encontramos anteriormente.

Portanto, concluímos que se o polinômio 9x² + 12x + k é um quadrado perfeito, então k deve ser um número divisível por 2.