A Progressão Aritmética dos Juros Simples: O Caso de Silvia emprestou a sua amiga Laura
Sílvia emprestou O empréstimo de dinheiro é uma prática comum em nossas vidas, seja para auxiliar amigos, familiares ou mesmo para investir em nossos próprios projetos. Neste artigo, abordaremos um caso específico de empréstimo, no qual Sílvia empresta R$ 5000,00 à sua amiga Laura, com uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Vamos explorar a evolução dessa dívida através de uma sequência de montantes formada por uma Progressão Aritmética (PA). Além disso, apresentaremos a fórmula do termo geral dessa PA, permitindo-nos calcular a dívida de Laura ao longo do tempo.
1. O conceito de Juros Simples
Antes de mergulharmos na situação específica de Sílvia e Laura, é importante entendermos o conceito de juros simples. Juros simples são uma forma de remuneração pelo uso de um capital emprestado, calculados exclusivamente sobre o valor inicial da dívida, sem considerar juros acumulados. A taxa de juros simples é aplicada apenas uma vez, e o montante aumenta de forma constante em relação ao valor principal.
2. O empréstimo de Sílvia para Laura
Sílvia decidiu emprestar R$ 5000,00 à sua amiga Laura para ajudá-la em uma situação financeira difícil. No entanto, esse empréstimo não será feito de forma gratuita. Ficou acordado entre elas que Laura pagaria uma taxa de juros simples de 3% ao mês sobre o valor inicial emprestado por Sílvia.
3. A sequência de montantes como uma Progressão Aritmética
A evolução da dívida de Laura pode ser representada por uma sequência de montantes, formando assim uma Progressão Aritmética (PA). Na PA, cada termo sucessivo é obtido pela soma do termo anterior com uma constante chamada de “razão”. Nesse caso, a razão é igual a 3% do valor inicial emprestado por Sílvia (ou seja, 3% de R$ 5000,00), que equivale a R$ 150,00.
4. A fórmula do termo geral da Progressão Aritmética
A fórmula geral para encontrar qualquer termo (an) em uma Progressão Aritmética é dada por:
an = a1 + (n – 1) * r
onde:
- an é o valor do termo que desejamos calcular;
- a1 é o primeiro termo da sequência (valor inicial da dívida);
- n é o número do termo que desejamos calcular;
- r é a razão da PA.
No caso do empréstimo de Sílvia para Laura, temos a1 = R$ 5000,00 e r = R$ 150,00 (3% de R$ 5000,00).
5. Calculando o valor dos montantes
Agora, podemos utilizar a fórmula do termo geral para calcular o valor dos montantes (dívida de Laura) em diferentes momentos no tempo. Vamos calcular os três primeiros termos para ilustrar o crescimento da dívida ao longo dos meses.
- Para n = 1: an = 5000 + (1 – 1) * 150 = 5000 + 0 = R$ 5000,00
- Para n = 2: an = 5000 + (2 – 1) * 150 = 5000 + 150 = R$ 5150,00
- Para n = 3: an = 5000 + (3 – 1) * 150 = 5000 + 300 = R$ 5300,00
Portanto, após 3 meses, a dívida de Laura com Sílvia será de R$ 5300,00.
Conclusão
O empréstimo de Sílvia para Laura, com uma taxa de juros simples de 3% ao mês, resulta em uma Progressão Aritmética (PA) para representar a evolução da dívida ao longo do tempo. Utilizando a fórmula do termo geral da PA, podemos calcular o valor da dívida em qualquer momento desejado. Neste artigo, calculamos a dívida nos primeiros três meses como exemplo, mas é possível realizar os cálculos para qualquer número de meses.
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