Tabela De Números Primos

Qual e o número primo de 12

Reverso do 37 é o 73, o 37 é o 12º número primo, mas 12 não é produto da multiplicação de 3 e 7 (nesse momento imagino do leitor uma expressão de surpresa).

Porque 91 não e um número primo?

Se encontrar o resto igual a zero, o número não é primo e se encontrar somente restos diferentes de zero, o número será primo. Neste caso, precisa-se fazer as divisões até obter um quociente menor ou igual ao divisor.0 13, portanto 91 não é primo, é um número composto.

Porque o número zero não e um número primo?

Ouça este artigo: Os números primos fascinam matemáticos há mais de 2000 anos. Os números primos são o santo graal da matemática pois, mesmo tendo uma definição tão simples muitos problemas que os envolvem ainda não estão solucionados. Vamos definir o que é um número primo: Os números primos são aqueles em que possuem apenas dois divisores: 1 e o próprio número.

Agora, vamos identificar alguns números primos segundo a definição acima a partir do conjunto dos naturais N=, Os números primos menores que 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Os números 0, 1, 4, 6, 8, 10 e 12 não são primos pois possuem mais de um divisor, por exemplo, o 6 pode ser dividido por 1, 2, 3 e o próprio 6.

O 8 é dividido por 1, 2, 4 e 8. O zero não pode ser primo, pois ele pode ser dividido por qualquer outro número que, ainda assim seria zero, o que nos leva uma infinidade de divisores. Já o 1 também não pode ser primo pois ele possui um único divisor, ele mesmo.

1. O número 2 é o menor primo e o único par.
2. A complexidade começa aqui: Como saber se um número é primo ou não? Para números pequenos é fácil responder a esta pergunta, mas quando pensamos na infinidade de números naturais que existem, escolhermos um e ainda identificar se ele é primo ou não, é um desafio e tanto! Infelizmente, não existe uma fórmula que determine se um número é, ou não, primo, mas há diversas ferramentas para nos ajudar nesta tarefa.

O método mais conhecido é o Crivo (ou Algoritmo da Divisão) de Eratóstenes. Este método consiste basicamente em testar se o número é, ou não, divisível por algum número natural menor do que ele próprio. Vamos agora mostrar como o Crivo de Eratóstenes funciona para determinar todos os números primos de 1 a 100:

1. Escreva todos os números de 1 a 100 numa tabela.
2. Elimine todos os múltiplos de 2, exceto o próprio 2 que já sabemos que é primo.
3. Depois, faça isto com os múltiplos de 3, exceto o 3 que também é primo.
4. O próximo da lista não riscado seria o 5, risque os múltiplos também.

Seguindo este método recursivamente, como vemos na tabela abaixo, os números verdes são os primos, os outros são números que são múltiplos de algum primo:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Porque o número 43 e primo?

O número 43 é primo ou só é um número impar? Ele só é divisível por 1 e por si próprio, então ele é um número primo.

Quais são os 7 números primos?

O que é número primo? – Brasil Escola Um número é classificado como primo se ele é maior do que um e é divisível apenas por um e por ele mesmo. Apenas números naturais são classificados como primos. Antes de saber mais sobre o número primo, é importante relembrar algumas regras de divisibilidade, que ajudam na identificação de quais números não são primos.

• Divisibilidade por 3 : um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos der um número divisível por 3.
• Divisibilidade por 4 : um número é divisível por 4 se ele for divisível duas vezes por 2 ou, então, se seus dois últimos algarismos forem divisíveis por 4.
• Divisibilidade por 5 : todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por cinco.
• Divisibilidade por 6: se um número for par e também divisível por 3, será divisível por 6.
• Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 se a diferença entre o dobro do último algarismo e o restante do número resultar em um número múltiplo de 7.

Essas são as principais regras de divisibilidade. Para encontrar cada número primo menor do que 100, utilizamos o ” Crivo de Eratóstenes “. Na tabela a seguir, iremos cancelar os números que não são primos seguindo esta ordem:

• O número 1 estará fora, pois, pela condição inicial, os números primos são maiores que um (será destacado de preto ); Não pare agora. Tem mais depois da publicidade 😉
• Os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8 estarão fora porque são divisíveis por dois (serão destacados vermelho );
• Os números terminados em 5 estarão fora porque são divisíveis por 5 (serão destacados de azul ). Os números terminados em zero já foram cortados;
• Os números cuja soma dos algarismos for 3 estarão fora por serem divisíveis por três (serão destacados de laranja );
• Os números que são divisíveis por 7 serão retirados também (serão destacados de verde )

Os números destacados em amarelo são aqueles que só são divisíveis por 1 e por eles mesmos, isto é, não obedecem a nenhum dos critérios de divisibilidade que comentamos acima. Portanto, pelo “Crivo de Eratóstenes”, os números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97 são os únicos números primos menores que 100.

1. Por Amanda Gonçalves
2. Graduada em Matemática

: O que é número primo? – Brasil Escola

Por que se les llama números primos

O que são números primos e compostos? Escrito por Rafael C. Asth Professor de Matemática e Física Os números primos são aqueles que apresentam apenas dois divisores: um e o próprio número. Eles fazem parte do conjunto dos números naturais.

• Por exemplo, 2 é um número primo, pois só é divisível por um e ele mesmo.
• Quando um número apresenta mais de dois divisores, eles são chamados de números compostos e podem ser escritos como um produto de números primos.
• O número 6, por exemplo, não é um número primo, é um número composto, já que tem mais de dois divisores (1, 2 e 3), escrito como produto de dois números primos 2 x 3 = 6.
• Algumas considerações sobre os números primos:

• O número 1 não é um número primo, pois só é divisível por ele mesmo;
• O número 2 é o menor número primo e também o único que é par;
• O número 5 é o único número primo terminado em 5;
• Os demais números primos são ímpares e terminam com os algarismos 1, 3, 7 e 9.

Como encontrar um número primo

Como reconhecer os números primos Os números primos fazem parte do sistema de numeração cardinal, que é composto pelos números naturais 0, 1, 2, 3, 4. A descoberta dos números primos ocorreu em Alexandria, por volta de 360 a.C a 295 a.C, pelo estudioso Euclides.

1. Foi ele quem descobriu que existe uma quantidade infinita de números primos e que qualquer número composto pode ser decomposto em fatores primos.
2. Lembre-se que número composto é todo número natural maior que um e que possui como divisor mais de dois números naturais.
3. São números compostos: 4, 6.8, 9, 10, 12.

A forma mais conhecida para identificar números primos é o, que é um algoritmo prático utilizado em intervalos numéricos. Eratóstenes era da Grécia e viveu no período de 276 a.C a 194 a.C, foi um grande matemático e ficou conhecido por ter calculado a circunferência da Terra.

São considerados números primos os termos numéricos maiores que 1, divisíveis por 1 e por ele mesmo. O número 1 não é primo, sendo assim, os números primos são: 2, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, Mas, como reconhecer os números primos? Para identificar um número primo devemos dividi-lo sucessivamente por números primos como: 2, 3, 5.

e verificar se a divisão é exata (em que o resto é zero) ou não exata (onde o resto é diferente de zero).

• Se o resto da divisão for zero o número não é primo,
• Se nenhum resto for zero, o número é primo,

Para dividir um número de forma mais rápida podemos utilizar os, mas somente quando os divisores forem números primos, como 2, 3, 5 e 11. Recorde-se que:

• Um número é divisível por 2 quando terminado em termos pares, ou seja, 0, 2, 4, 6.,
• Um número será divisível por três quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3.
• Um número será divisível por 5 quando o seu último algarismo for 5 ou 0.

Um número será divisível por 11 quando a diferença da soma dos algarismos de ordem par com a soma dos algarismos de ordem ímpar obtiver como resultado um número divisível por 11. Ao falarmos de resto, devemos sempre nos lembrar do algoritmo da divisão, que é dado por: Não pare agora. Tem mais depois da publicidade 😉

• Veja o exemplo a seguir:
• Descubra se o número 521 é primo.

Para descobrirmos se o número 521 é primo devemos verificar quais os divisores de 521. Podemos fazer isso utilizando os critérios de divisibilidade, ou seja, dividindo 521 pelos números primos: 2, 3, 5. Iremos parar de dividir 521 por números primos quando o valor do quociente for menor que o do divisor. Caso nenhum resto das divisões seja igual a zero, o número será considerado primo.

• De acordo com o critério de divisibilidade, o 521 não é divisível por dois, porque não é um número par.
• 521 não é divisível por 3, porque a soma dos algarismos que o compõe não é divisível por 3. Veja 5 + 1 +1 = 7
• O número 521 também não é divisível por 5, porque o último algarismo do número 521 não é 5.
• 521 não é divisível por 7, já que sete é uma divisão não exata e seu resto é 3.

O número 11 também não é divisor de 521, porque o seu resto é 4. Observe que o quociente é maior que o divisor, sendo assim, devemos dividir 521 pelo próximo número primo, que é 13.

521 não é divisível por 13, porque a sua divisão não é exata.

17 não é divisor de 521, pois o resto da divisão é 11. Com isso teremos que dividir pelo próximo número primo, que é 19.

521 não é divisível por 19, porque o resto dessa divisão é 8.

23 não é divisor de 521, o resto da divisão é 15. Como o quociente (22) é menor que o divisor (23), devemos parar de dividir o número 521.

1. Concluímos que 521 é um número primo, sendo assim, é divisível somente por 1 e por ele mesmo (521).
2. Por Naysa Oliveira
3. Graduada em Matemática

: Como reconhecer os números primos

Qual e o 1001 número primo?

1001 é divisível por 11 então não é primo.

Quais são os 200 primeiros números primos

RPM 19 – A distribuio dos nmeros primos

A distribuio dos nmeros primos Geraldo vila IMECC/UNICAMP

O conceito de nmero primo surge naturalmente, to logo comeamos a lidar com a multiplicao, bem no incio do estudo da Aritmtica. Percebemos ento que alguns nmeros so produtos de outros, como 6 = 2 x 3 ou 30 = 5 x 6. Estes so chamados nmeros compostos. Os demais nmeros so aqueles que no tm outros fatores alm deles mesmos e da unidade; so os chamados nmeros primos.

1. Em outras palavras, nmero primo todo nmero, maior do que 1, que divisvel somente por si mesmo e pela. unidade.
2. Quando um nmero no primo, ele pode ser decomposto num produto de fatores primos, como 12 = 2 x 2 x 3, 30 = 2 x 3 x 5, 935 = 5 x 11 x 17.
3. Pelo seu carter basilar no estudo dos nmeros, essa propriedade conhecida como o Teorema Fundamental da Aritmtica.

Ela significa que os nmeros primos so, por assim dizer, os “tomos” ou “tijolos” da construo numrica pela multiplicao. Parece at que eles preexistem especulao humana, “j estavam l”, foram apenas “descobertos” e no “inventados”. Por causa mesmo desse carter do nmeros primos, eles tem sido imaginados como a base do cdigo que teria mais chance de ser entendido por eventuais seres inteligentes de putros mundos.

De fato se eu me aproximar de qualquer pessoa que tenha alguma orientao matemtica, por modesta que seja, em qualquer lugar do mundo, e lhe mostrar um padel com os nmeros 2, 3, 5, 7, 11,,, gravados de maneira universalmente compreensvel – por exemplo, com pontinhos, assim:,,,,,,,,,,,,,

, etc.

A infinidade dos nmeros primos

A considerao dos nmeros primos suscita uma srie de questes interessantes, algumas j tratadas nesta Revista (veja o artigo de Benedito Freire na RPM 11, pp.5 a 8). Uma delas refere-se quantidade de nmeros primos existentes. Exibimos acima os nmeros primos de 2 a 13.

Mas a seqncia de nmeros primos continua. At onde? Ou no termina nunca? Esta questo foi resolvida h pelo menos 2 300 anos, pois sua soluo consta do livro Elementos de Euclides, escrito por volta de 300 a.C. L est a demonstrao de que existem infinitos nmeros primos. a Proposio 20 do Livro 9, reproduzida no artigo de Benedito Freire.

(Veja tambm, nesta RPM, p.27.) O matemtico ingls George Hardy (1877-1947) considerava essa demonstrao uma das mais belas da Matemtica. Outra questo natural sobre os nmeros primos a de determinar, dentre os inteiros positivos, todos os nmeros primos at certo nmero dado.

• Esta questo tambm foi resolvida na antiguidade pelo sbio Eratstenes (276-194 a.C.) da escola de Alexandria.
• A ele devemos o chamado crivo de Eratstenes, ensinado em nossas escolas do primeiro grau, que tambm est explicado no artigo de Benedito Freire.
• Com o crivo de Eratstenes podem-se determinar, sem auxlio de mquinas, todos os nmeros primos at 200, 400 ou 500, por exemplo.

Com o auxlio de computadores, o crivo de Eratstenes, convenientemente adaptado, permite determinar os nmeros primos at limites bem altos. Mesmo antes dos computadores, j haviam sido determinados os nmeros primos at 1 0 00 0 000. Isto ocorreu por volta de 1914, por obra do matemtico americano D.N.

1. Lehmer. Dois outros matemticos (Bays e Hudson) calcularam, em 1976, (usando computadores, evidentemente!), a tabela dos nmeros primos at 12 x 10 11,
2. Alm disso, h tabelas de nmeros primos em determinados intervalos de inteiros e conhecem-se tambm nmeros primos bem grandes, como o nmero 2 44497 1, que possui 13395 algarismos! E um nmero to grande de algarismos que, se fssemos escrever todos eles aqui, necessitaramos de mais de 4 pginas desta Revista (contando 70 algarismos por linha e 45 linhas por pgina).

Listamos a seguir a modesta tabela dos primeiros 100 nmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541.

A distribuio dos nmeros primos

Ao contemplar uma tabela como essa, a primeira impresso que se tem a de que no h nenhuma ordem entre os nmeros primos: s vezes eles aparecem prximos uns dos outros, s vezes afastados, ora menos, ora mais afastados; enfim, analisando-os individualmente ou em pequenos grupos, no divisamos qualquer regularidade em sua distribuio.

1. Entretanto, a sagacidade de inteligncias privilegiadas consegue ver mais fundo, e foi precisamente isso o que aconteceu por obra do matemtico francs Adrien-Marie Legendre (1752-1833).
2. Ele se ocupou dessa questo e por volta de 1800 formulou uma conjectura que revela certa ordem no que parecia ser um caos completo.

Para explicarmos a conjectura de Legendre, introduzimos o smbolo (x) como sendo o nmero de nmeros primos at certo valor x. Assim, (8) = 4, ou seja, o nmero de nmeros primos at 8 4; (l 1) = 5, pois h cinco nmeros primos at 11, precisamente, 2, 3, 5, 7, 11; e assim por diante.

Pois bem, o que Legendre conjecturou, empiricamente, analisando tabelas de nmeros primos (em 1797 uma dessas tabelas foi publicada, contendo todos os nmeros primos at 400031), que (x) podia ser aproximado pela funo x / log x (o logaritmo que aqui aparece o logaritmo naural, isto, na base e 2,7), e que essa aproximao seria tanto melhor quanto maior fosse x,

Mas isto deve ser entendido em termos relativos, isto, o erro que se comete tomando x / log x em lugar de ( x ) torna-se tanto menor quanto maior for x, relativamente a x / log x, Em outras palavras, seja o erro que se comete ao tomar x / log x em lugar.de ( x ). Pois bem, o que se torna pequeno com o crescer de x o erro relativo Este erro pode ser feito, em valor absoluto, to pequeno quanto quisermos, desde que faamos suficientemente grande. Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que considerado por muitos o maior matemtico de todos os tempos, conta, numa carta de 1849, publicada vrios anos mais tarde, que quando ainda bem jovem, com apenas 15 anos de idade, pensou muito sobre a distribuio dos nmeros primos, chegando a conjecturar algo equivalente ao que conjecturou Legendre.

Seja como for, essa conjectura logo impressionou os matemticos como algo notvel, pois quem diria que a seqncia dos nmeros primos pudesse ter algo a ver com a funo logaritmo! Esta uma funo que surge, por exemplo, no estudo do crescimento de populaes. Assim, se uma populao de bactrias duplica a cada uma hora, ento log x / log 2 precisamente o nmero de horas necessrio para que a populao original fique multiplicada pelo fator x,

Vale a pena determo-nos um instante nesta questo. Se P(t) designa o nmero de indivduos da populao no instante t e P 0 o nmero de indivduos da populao original, sabe-se que P ( t ) = Po e kt, (3) onde o tempo expresso em horas e k um parmetro a determinar.

• 2 = e k, donde k = log2 0,693147.
• (Ateno, trata-se aqui do logaritmo natural.) Finalmente, levando este valor de k em (3) e lembrando que x = P ( t ) /P 0, obtemos
• x = e (log 2) t, que equivale a t = log x / log 2,
• No deixa de ser surpreendente que dois fenmenos to diferentes na aparncia, como a distribuio dos nmeros primos e o crescimento populacional, tenham algo em comum.

A descoberta de Legendre e Gauss demorou a ser demonstrada. Embora ela tenha sido objeto da ateno dos melhores matemticos do sculo, desafiou a argcia desses homens por cerca de 100 anos. De fato, foi somente em 1896 que ela foi demonstrada pela primeira vez.

• E nesse mesmo ano apareceram duas demonstraes, uma pelo matemtico francs Jacques Hadamard (1865-1963) e outra, pelo belga Charles de Ia Valle Poussin (1866-1962).
• Essas demonstraes, independentes uma da outra, baseavam-se nas idias de um outro grande matemtico do sculo, Bernhard Riemann (1826-1866).
• Embora no tenha logrado demonstrar a conjectura de Legendre e Gauss, Riemann, num memorvel trabalho intitulado Sobre o nmero de nmeros primos menores que um certo nmero, deixou idias notveis sobre teoria dos nmeros, que vm sendo exploradas pelos estudiosos do assunto at os dias de hoje.

Antes mesmo das demonstraes de Hadamard e de la Valle Poussin, o matemtico russo Pafnutii Chebyshev (1821-1894) provou, por volta de 1850, um resultado prximo conjectura de Legendre e Gauss. Segundo Chebyshev, existem constantes positivas c e C ( c 0,92, C 1,106) tais que Para bem entendermos o significado da aproximao vamos comparar os grficos das funes y = x e y = log x, Eles nos revelam que ambas as funes crescem com o crescer de x, tendendo a infinito. No entanto, como podemos ver, claramente, a primeira dessas funes cresce mais depressa que a segunda, distanciando-se mais e mais desta ltima, medida que x cresce acima de qualquer nmero dado. Isto fica ma is claro ainda quando levamos em conta que o grfico do logaritmo tem a concavidade voltada para baixo, significando que, embora esta funo esteja crescendo sempre com o crescer de x, trata-se de um crescimento cada vez mais lento, quanto maior for x.

• Isto quer dizer que o quociente no segundo membro de (4) tambm cresce, tendendo a infinito com o crescer de x, o que est de acordo com o fato de que existem infinitos nmeros primos, isto, (x) cresce acima de qualquer nmero, desde que faamos x suficientemente grande.
• No obstante t u do isso, o erro absoluto expresso em (1) pode tornar-se muito grande, mas no o erro relativo expresso em (2); este tende a zero, isto, pode ser feito menor do que qualquer nmero positivo dado, desde que faamos x suficientemente grande.

Uma concluso simples que podemos tirar de (4) que, em certo sentido, os nmeros primos vo ficando cada vez mais raros, medida que avanamos na seq ncia dos nmeros naturais. Para bem entender o que estamos dizendo, observe que x / log x significa de sorte q ue 1/log x a densidade mdia dos nmeros primos no intervalo que vai de 1 at x. O fato de que essa densidade decresce com o crescer de x significa precisamente o que dissemos acima: os nmeros primos vo ficando cada vez mais r a ros, medida que avanamos na seq ncia dos nmeros naturais.

Desertos de nmeros primos e primos g meos

Evidentemente, o que acabamos de dizer deve ser entendido em mdia. Isto deixa aberta a possibilidade de haver concentraes de nmeros primos em certos lugares ou a ausncia deles em outros lugares de sua seqncia. Essa ausncia pode ser facilmente estabelecida, pelo simples expediente de exibir intervalos arbitrariamente longos de nmeros naturais nos quais todos os nmeros so compostos, nenhum primo! Tais intervalos so s vezes chamados desertos de nmeros primos.

1. pois simplesmente o produto desses nmeros. Ento,
2. n ! + 2 divisvel por 2,
3. n + 3 divisvel por 3,
4. n ! + 4 divisvel por 4,
5. e assim por diante, at chegarmos a

n ! + n divisvel por n. Em outras palavras, todos os nmeros n ! + 2, n ! + 3, n ! + 4,, n ! + n, so compostos. Nesse intervalo existem n 1 nmeros. Como n arbitrrio, podemos escolh-lo de forma a termos uma seqncia ininterrupta de nmeros compostos, ou seja, um deserto de nmeros primos, to longo quanto quisermos! Em face da propriedade que acabamos de demonstrar, e tendo em conta que a densidade mdia dos nmeros primos tende a zero, de sorte que esses nmeros vo ficando, em mdia, cada vez mais raros quanto maiores forem, razovel suspeitar que o intervalo entre nmeros primos consecutivos tambm cresa com o crescer desses nmeros.

1. Mas a verdade parece ser outra, pois h tambm razes para suspeitar que existam infinitos pares de nmeros primos gmeos, isto, pares de nmeros primos do tipo p e p + 2.
2. Por exemplo, so primos gmeos os pares 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e l9, 29 e 31, 41 e 43, etc.
3. O leitor pode examinar a tabela de nmeros primos que reproduzimos acima e nela localizar vrios outros desses pares, o ltimo dos quais formado pelos nmeros 461 e 463.

Como dissemos acima, o crivo de Eratstenes pode ser convenientemente programado em computador para construir tabelas de nmeros primos at limites bem grandes. H tambm procedimentos especiais para achar os nmeros primos de determinados intervalos, ou para decidir se um dado nmero ou no primo.

• Isso permite encontrar nmeros primos muito grandes.
• Multiplicando-se dois tais nmeros, obtm-se um nmero composto que tambm ser to grande, a ponto de ser praticamente impossvel descobrir seus fatores primos, pois os computadores mais rpidos levariam milhes de anos para realizar essa tarefa! Tais nmeros so hoje em dia usados na codificao de mensagens, seja para fins militares, diplomticos ou comerciais, um recurso criptogrfico muito eficaz, pois s quem conhece os fatores primos do nmero composto consegue interpretar as mensagens.

Trata-se de uma importante descoberta, ocorrida por volta de 1977, objeto de um interessante artigo de Routo Terada na RPM 12. : RPM 19 – A distribuio dos nmeros primos

O que significa ser primos entre si?

Como percebemos, não temos uma solução única com relação ao valor da raiz quadrada de um número positivo. Como devemos fazer uma escolha, definimos no conjunto Z: a raiz quadrada de 25 é o número positivo + 5 para resolvermos expressões numéricas. Indica-se: = 5 Existe o oposto do número, que é -, Assim: – = -(+ 5) = – 5 Obs.: Raiz cúbica (índice da raiz = 3, número ímpar) = + 2 pois (+ 2)³ = + 8 = – 2 pois (- 2)³ = – 8 Observações Indica-se por D(a) o conjunto dos divisores de a e por M(a) o conjunto dos múltiplos de a, D(a) = M(a) = Exemplos : D(8) = = D(- 5) = = Números primos. Um número inteiro p, p 0, p – 1, p 1, é primo se e somente se, seus únicos divisores são, 1, -1, p, – p. Por esta definição, repare que:

os números 1 e – 1 não são primos; os únicos números primos e pares são 2 e – 2.

Máximo Divisor Comum (MDC). Dados dois inteiros a e b, não nulos, seu máximo divisor comum, que se indica por MDC (a, b), é o maior elemento do conjunto D(a) D(b). Exemplo: Para os inteiros 6 e 15, temos: D(6) = D(15) = D(6) D(15) = é o conjunto dos divisores comuns de 6 e 15. O maior elemento de D(6) D(15) é 3, então MDC (6, 15) = 3. Números primos entre si. Diz-se que dois inteiros a e b são primos entre si, ou que a é primo de b, quando o MDC (a, b) = 1. Exemplo: 5 e 8 são primos entre si, pois MDC (5, 8) = 1 Obs.: os conceitos de número primo e números primos entre si são absolutamente distintos.

• Dizemos que um número é primo e que dois ou mais números são primos entre si.
• Quando dois números distintos são ambos primos e de mesmo sinal (ambos negativos ou ambos positivos), então os dois números são também primos entre si.
• Por exemplo: 3 e 5 são ambos primos positivos e são também primos entre si, pois MDC (3, 5) = 1.

Mas, se dois números são primos entre si não podemos concluir que sejam ambos primos e nem mesmo que um deles seja primo. Por exemplo: os números 8 e 9 são primos entre si, pois MDC (8, 9) = 1, e, no entanto nenhum dos dois é primo. Mínimo Múltiplo Comum (MMC). M(b). Exemplo: Para os inteiros 10 e 12, temos: M(10) = M(12) = M(10) n M(12) = é o conjunto dos múltiplos comuns de 10 e 12. O menor elemento positivo de M(10) M(12) é 60, então MMC (10, 12) = 6

E correto afirmar que todo número ímpar e primo

Definição 2: Um número natural é primo se ele é maior do que 1 e é divisível apenas por si próprio e por 1. Da definição, decorre a seguinte seqüência de números primos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37) e, como podemos observar, com exceção do 2, todos os demais números primos são ímpares.

Qual e o número mais alto do mundo?

A busca pelo maior número primo do mundo (aquele que só pode se dividido pelo numeral 1 ou por ele mesmo) sempre entusiasmou matemáticos, envolvendo uma série de computadores softwares nessa busca. O maior deles foi descoberto por um norte-americano e conta com 23.249.425 dígitos.

1. Para ser encurtado, o número recebeu o nome M77232917 e pode ser representado pela equação 2 77.232.917 – 1.
2. O número foi “descoberto” pelo engenheiro eletricista Jonathan Pace, que mantem um computador voltado apenas para isso no estado norte-americano do Tennessee há 14 anos.
3. Foram seis dias de computação ininterrupta, tendo o resultado verificado pelo projeto “Great Internet Mersenne Prime Search” (GIMPS), projeto iniciado em 1996, que tem como função buscar por numerais do tipo.

A descoberta de Pace possui aproximadamente 1 milhão de dígitos a mais que o recorde anterior, achado no ano de 2016. Pela descoberta, o engenheiro deve ganhar uma recompensa de US$ 3 mil (aproximadamente R$ 9,7 mil). “Eu fiquei muito surpreso por ter sido descoberto tão rápido.

1. Nós esperávamos que levasse mais tempo”, afirmou Chris Caldwell, professor de matemática da Universidade do Tennessee e dono de um site sobre os maiores números primos, em entrevista ao jornal britânico The Guardian,
2. O número descoberto é chamado de primo de Mersenne, que consiste em um número primo resultado de uma potência de base 2 subtraído por 1.

Os primos de Mersenne apresentam uma facilidade em se verificar se são primos ou não. O próximo objetivo é descobrir um número primo com 100 milhões de dígitos. O autor dessa descoberta receberá uma recompensa de US$ 150 mil (cerca de R$ 485 mil) da Electronic Frontier Foundation.

Qual foi o último número primo descoberto

Embora não saibam apontar ao certo a aplicação prática dessa descoberta, matemáticos ao redor do mundo comemoraram a identificação de um número primo com 6.320.430 dígitos, o maior conhecido até hoje e apenas o quadragésimo primo de Mersenne. O responsável pela novidade é Michael Shafer, um estudante de pós-graduação em engenharia química da Universidade de Michigan (EUA), um dos 60 mil voluntários que fazem parte do projeto Gimps (sigla em inglês para Grande Busca na Internet por Primos de Mersenne). Michael Shafer ao lado do computador que identificou o maior primo conhecido (foto: Michigan State University) Os primos são números positivos inteiros divisíveis apenas por um e por eles mesmos. Embora sejam estudados desde a Grécia Antiga, até hoje matemáticos não entendem como são distribuídos.

• Já que não é possível saber previamente se um número é primo, vários projetos testam o universo numérico em busca de novos exemplos: o Gimps é um deles.
• Esse projeto lança mão de uma rede de 211 mil computadores, que funcionam como uma supermáquina capaz de nove trilhões de cálculos por segundo — ela fez em dois anos o que um PC comum levaria 25 mil anos.

O Gimps busca especificamente primos de Mersenne, um tipo raro de primo expresso pela fórmula 2 p – 1, na qual p também é primo. O novo número pode ser representado como 2 20.996.011 – 1 (escrito por extenso, ele ocuparia 1087 páginas de tamanho A4, sem margem). O monge francês Marin Mersenne (1588-1648) foi o primeiro a se interessar pela classe de números primos que hoje leva seu nome Mas o que leva alguém a integrar o projeto? Alguns por curiosidade matemática, outros por um lugar na história. Mas pelo visto a fama não subiu à cabeça de Shafer.

Questionado pela imprensa sobre a descoberta, ele reconhece que ela não irá revolucionar a matemática. “O crédito é meu e daqueles que desenvolveram o software. Qualquer um poderia ter achado o número.” O estudante se refere ao fato de qualquer um poder participar do projeto. Basta acessar seu site e baixar de graça o programa responsável pelos testes.

“O software funciona sozinho e não afeta a eficiência do computador. Faço meus trabalhos e contribuo para o Gimps ao mesmo tempo”. Assim, o crédito da descoberta talvez não seja do estudante, mas do seu PC Pentium 4 Dell Dimension de 2GHz. Há ainda outro motivo: um prêmio de US$ 100 mil é oferecido pela fundação norte-americana Eletronic Frontier a quem encontrar o primeiro primo com dez milhões de dígitos.

O Gimps ganhou o último prêmio oferecido pela entidade, no valor de US$ 50 mil, pela descoberta do primeiro primo com um milhão de dígitos. Mas talvez a melhor razão para se voluntariar seja testar o potencial do próprio computador. Especialistas afirmam que o único dado relevante dessa descoberta é ser um bom exemplo do que os computadores modernos são capazes quando reunidos em torno de um só objetivo.

“Um dia alguma pesquisa poderá usar essa tecnologia para algo mais relevante”, espera Shafer. “Como é difícil descobrir tais números, novas técnicas são necessárias e elas, por sua vez, levam a desenvolvimentos surpreendentes e úteis”, explica o matemático Fábio Chalub.

Mas, segundo ele, esse não é o motivo da excitação dos matemáticos. “Eles vêem uma beleza nas estruturas matemáticas que outras pessoas acham estranhas. A questão matemática passa a ter um valor dissociado do mundo real. Por isso muitos acham que fazem algo mais próximo da arte que da ciência.” Rafael Barifouse Ciência Hoje On-line 22/12/03 Utilizamos cookies para oferecer a melhor experiência, melhorar o desempenho de nossos sites, analisar como você interage conosco e personalizar conteúdo.

Ao utilizar este site, você concorda com o uso de cookies. Para maiores informações, conheça a nossa Política de Privacidade.

Qual e o último número que existe?

Os números naturais – Para negociar e pôr em ordem as coisas, o homem teve a necessidade de representar as quantidades para saber exatamente com o que contava. Foi então que surgiu a ideia de criar símbolos para representar essas quantidades. Por exemplo, se alguém sabia quantas galinhas tinha, poderia estabelecer do mesmo modo a quantidade de dias que podia alimentar sua família. Foi a partir dessa necessidade que o homem criou o que hoje conhecemos como números naturais, Eles são os primeiros a surgirem entre as diferentes civilizações, isso porque contar e ordenar as coisas são as tarefas mais elementares quando o assunto é quantificação. Os números naturais são símbolos que nos permitem representar as quantidades de elementos que possui um determinado conjunto. Por conta da importância deste conjunto de números, foi criado um símbolo especial para poder identificá-lo, usamos a letra bbb”N”\ \ para representar o conjunto dos números naturais, Desta forma, toda vez que você ver bbb”N”\ \ num livro de matemáticas ou em alguma aula já saberá do que se trata.

Você já se perguntou qual é o ultimo número natural? Não existe, é verdade, simplesmente não existe um número natural que seja maior do que todos os outros, cada vez que você pensar em um, poderá encontrar muitos outros maiores que ele, e como isto nunca termina, dizemos que bbb”N”\ \ é um Conjunto infinito,

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Quem inventou os números primos

Cálculo de números primos: colocações iniciais

POR QUE O NOME PRIMO PARA OS NÚMEROS PRIMOS ?

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Muitas pessoas acham que a palavra primo – para denotar os números primos – está associada a alguma analogia de parentesco. Como veremos, isso é totalmente falso. Esse “primo” refere-se à idéia de primeiro, e tem sua origem numa velha concepção numérica dos pitagóricos.

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C O N C E P C A O P I T A G O R I C A de N Ú M E R O P R I M O A noção de número primo foi, muito provavelmente, introduzida por Pythagoras, c.530 AC, sendo que a mesma desempenhou um papel central tanto na matemática como no misticismo pitagórico. A escola pitagórica dava grande importância ao número um, que era chamada de unidade ( em grego: monad ). Os demais números inteiros naturais – o 2, 3, 4, etc – tinham um carácter subalterno, sendo vistos como meras multiplicidades geradas pela unidade e por isso recebiam a denominação número ( em grego: arithmós ). Era como se tivéssemos uma família, onde a “mãe” era a monad ( unidade ) e os “filhos” os arithmói ( os números ):

a monad: a unidade ou um os arithmói ( os números ) dois, três, quatro, etc, ou seja: todas as coleções de unidades

Entre os pitagóricos, a preocupação com a geração dos números não parava aí. Já o próprio Pythagoras teria atinado que existem dois tipos de arithmói:

os protoi arithmói ( números primários ou primos ) que são aqueles que não podem ser gerados – via multiplicação – por outros arithmói, como é o caso de 2, 3, 5, 7, 11,, os deuterói arithmói ( números secundários ) que são os que podem ser gerados por outros arithmói, como é o caso de 4 = 2.2, 6 = 2.3, 8 = 2.4, 9 = 3.3, etc

Assim que os primeiros matemáticos gregos dividiam o que hoje chamamos de números inteiros naturais em três classes:

a monad ( ou unidade, ou 1 ) os protói arithmói ( números primos ) ou asynthetói arithmói ( números incompostos ): 2, 3, 5, 7, 11, etc os deuterói arithmói ( números secundários ) ou synthetói arithmói ( números compostos ): 4, 6, 8, 9, 10, etc

OBSERVACAO: Ainda por influência dos pitagóricos, por muitos séculos houve polêmica acerca da primalidade do número dois. Os primeiros pitagóricos chamavam-lhe dyad, atribuiam-lhe carácter especial – embora bem menos importante do que o da monad – e alguns deles não o incluiam entre os arithmói. Consequente, muitos pitagóricos não consideravam o dois como primo. É só pela época de Aristóteles c.350 AC que passou a ser comum considerar o dois tanto como número como primo, sendo que esse costume foi consagrado pelo livro Elementos de Euclides c.300 AC. OBSERVACAO: Entre os gregos, principalmente entre gregos pitagóricos de várias gerações depois de Pythagoras, surgiram outras denominações para os números primos, como: retilíneos, lineares e eutimétricos. Contudo, elas tiveram uso muito restrito e cairam no desuso.

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Q U E S T O E S D O C U M E N T A I S G R E G A S Acima, dissemos que “a noção de número primo foi, muito provavelmente, introduzida por Pythagoras”. Com efeito, é impossível ter completa segurança nessa atribuição, pois Pythagoras não deixou nenhum escrito e os documentos mais antigos que temos falando de suas idéias resumem-se a pequenos fragmentos de textos escritos várias gerações depois dele. Contudo, esses fragmentos, apesar de conterem muito escassas informações, são unânimes em afirmar que Pythagoras iniciou o estudo dos números primos. O mais antigo livro de matemática que chegou completo aos nossos tempos e que desenvolve sistematicamente o estudo dos números primos é o Elementos de Euclides c.300 AC. Como é sabido, Euclides seguiu muito de perto a orientação matemática dos pitagóricos. Assim, não é surpreendente que, no capítulo em que trata da Teoria dos Números, ele defina número primo de um modo absolutamente compatível com as idéias pitagóricas expostas acima. Com efeito ( Elementos, VII, def.11, na versão de Heath ):

protós arithmós estin monadi mone metroymenos ou seja: número primo é todo aquele que só pode ser medido através da unidade

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S U R G I M E N T O da D E N O M I N A C A O L A T I N A : primus A Arithmetiké do grego Nikomachos, c.100 dC, é o mais antigo livro de Teoria dos Números, posterior ao Elementos de Euclides, que chegou até nossos dias. Trata-se de uma visão de filósofo e letrado do Elementos, sendo que não há uma única demonstração entre os poucos tópicos abordados. Apesar disso, teve grande repercussão na época e foi a base do primeiro livro em latim que se escreveu sobre Teoria dos Números: o De Institutione Arithmetica, do romano Boethius c.500 dC. No livro de Boethius é onde aparece, pela primeira vez, a denominação numerus primus como tradução da tradicional protós arithmós preservada de Euclides por Nikomachos. Ademais, Boethius, sempre seguindo Nikomachos, usa a velha classificação pitagórica dos números naturais: primos ou incompostos versus secundários ou compostos. O Livro de Boethius foi, durante cerca de seiscentos anos, a única fonte de estudos de Teoria dos Números disponível na Idade Média. Em torno de 1 200 dC iniciou o renascimento científico e matemático do Mundo Cristão, com o afluxo das obras árabes e a tradução das obras gregas preservadas no Mundo Islamita. É dessa época um dos mais influentes livros de todos os tempos: o Liber Abacci, de Fibonacci. Esse grande matemático, que havia estudado entre os muçulmanos do Norte da África, diz que acha melhor dizer primus em vez do incomposto preferido pelos árabes e outras pessoas. Ficou assim, definitivamente, consagrada a denominação número primo na Europa Cristã.

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B I B L I O G R A F I A

M. TIMPANARO-CARDINI: Pitagorici. Testimonanze e frammenti, 3 vols. Florence, 1 958.H. DIELS, W. KRANZ: Die Fragmente der vorsokratiker, 7a ed.1954. sec.14 para Pythagoras e secs.37-58 para os primeiros díscipulos PAULY WYSSOVA: Real Encyclopaedie der Classische Altertumswissenschaft. Stuttgart, 1963. Vol XXIV, pp 171-300 K. SYLVAN GUTHRIE: The Pythagorean Sourcebook and Library. An Anthology of Ancient Writings Which Relate to Pythagoras and Pythagorean Philosophy. Phanes Press, 2 000.B. VAN DER WAERDEN: Die Arithmetik der Pythagoreer. Math. Ann., 120, (1947-49), pp 127-153, 676-700.

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Quais são os números que não são primos

Número Não Primo – Definição : número não primo é aquele que além de possuir como divisores a unidade e ele próprio, ainda possui outro (s) divisor (es). Exemplos :

4 → divisores – 1, 2 e 4 6 → divisores – 1, 2, 3 e 6 8 → divisores – 1, 2, 4 e 8

Após analisar as definições acima, tente responder a seguinte pergunta: será possível construir uma lista de cinco números consecutivos não primos? Pense bem! Vejamos. Vimos anteriormente que os números primos são infinitos. Como acharemos uma lista de números consecutivos não primos, mesmo levando em consideração que esta sequência deverá estar situada em meio à imensidade de números primos infinitamente existentes? Este é um problema que já vem perturbando as cabeças dos interessados por matemática há anos.

Vamos além da simples lista de cinco números apenas. E se quiséssemos uma lista de 1000 ou 1 000 000 de números consecutivos não primos, seria ela possível de ser encontrada? Calma. Vamos por parte. Voltemos à primeira sequência: aquela de apenas cinco números consecutivos não primos. Se ela é possível? Sim.

Ela é possível: 24, 25, 26, 27 e 28. Essa é apenas uma das possibilidades apresentadas pelo matemático Alexandre Eisenmann, no seu belíssimo artigo publicado pela Sociedade Brasileira de Matemática (RPM, n.77, p.3-5). Veja que não há primo algum nesta sequência e que os números estão dispostos de maneira consecutiva.

Se tentarmos construir a sequência dos cinco números a partir do 4, por exemplo, teremos, logo em seguida, o número primo 5. Se tentarmos pelo 6, em seguida virá o 7, primo. Caso comecemos pelo 9, ao chegarmos no 11 já teremos um número primo. Ao continuar com este processo, chegar-se-á a conclusão de que a sequência 24, 25, 26, 27 e 28 é a única possível para esse início de conversa.

Alguns programas de computador, criados para este fim, são capazes de encontrar listas relativamente grandes de números consecutivos não primos. Porém, listas muito grandes (1 000 ou 1 000 000, por exemplo), ainda não podem ser encontradas. Digo impossível para a máquina.

Por outro lado, se a máquina não consegue realizar tal feito, a mente humana deu um show de superação e mostrou que é possível encontrar listas de números não primos consecutivos tão grandes quanto desejarmos. Para cumprir esta tarefa aparentemente impossível faremos uso de um Teorema que diz: ” É possível conseguir listas de números consecutivos não primos de qualquer tamanho “.

Em sua demonstração, não oferecida por Alexandre, nem por ele citado o autor, o teorema ainda oferece uma técnica que possibilita encontrar a tão almejada lista. Veja:

Escolha um número inteiro maior do que 1, por exemplo, n. Calcule n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + n para obter o primeiro número da lista (neste caso, da lista de cinco números)

Atente-se ao fato de que a técnica não se refere se a lista a ser criada terá o seu início no menor número possível. Ela apenas fornece subsídios para a construção de uma lista. Façamos n = 3.3(3 + 1)(3 + 2)(3 + 3)(3 + 4) + 3 = = 3 x 4 x 5 x 6 x 7 + 3 = 2 523 (primeiro número da lista) A lista será: 2 523, 2 524, 2 525, 2 526, 2 527.

Eu poderia fazer n = 2, n = 4, n = 5 ou n igual a qualquer número natural maior do que 1. Vamos procurar uma lista com 8 números consecutivos não primos. Neste caso, a fórmula fica da seguinte maneira: n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5)(n + 6)(n + 7) + n Fazendo n = 2, tem-se: 2(2 + 1)(2 + 2)(2 + 3)(2 + 4)(2 + 5)(2 + 6)(2 + 7) + 2 = = 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 + 2 = 362 882 (primeiro número da lista) Lista para oito números: 362 882, 362 883, 362 884, 362 885, 362 886, 362 887, 362 888, 362 889.

Dos exemplos acima já podemos concluir que as listas de 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000 etc. são possíveis. Por outro lado, se para uma pequena lista de oito números, já tivemos o primeiro número sendo o 362 882, imagine só qual será o primeiro número da lista de 1 000 000 000, por exemplo.

Apesar do teorema estar correto e cumprir com o prometido, nossa limitação em calcular ou registrar números tão grandes, como esses certamente serão, nos impossibilita de ficar de fronte com tamanha magia: encontrar a lista aparentemente impossível dos números consecutivos não primos nas terras infinitamente povoadas pelos números primos.

Referência bibliográfica: EISENMANN, Alexandre Luís Kundrát. Deserto de Números Primos. Revista do Professor de Matemática (RPM), n.77, p.3-5, 2012. Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/encontrando-listas-de-numeros-nao-primos/

Porque 91 não é um número primo?

Se encontrar o resto igual a zero, o número não é primo e se encontrar somente restos diferentes de zero, o número será primo. Neste caso, precisa-se fazer as divisões até obter um quociente menor ou igual ao divisor.0 13, portanto 91 não é primo, é um número composto.

O que são números primos de exemplos?

Os números primos representam o conjunto dos números naturais, maiores que 1, que possuem apenas dois divisores (1 e ele próprio). Exemplo: 2, 5, 7, 11, etc. Já os números, maiores que 1, com mais de dois divisores são chamados de números compostos.

Como saber se o número é divisível por outro?

Apêndice B Regras de Divisibilidade –

Divisibilidade por 1 Todo número é divisível por 1, Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 (ou seja, par) quando o seu dígito das unidades é igual a 0, 2, 4, 6 ou 8, Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 se a soma de seus dígitos é um múltiplo de 3, Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando o dobro do dígito das dezenas somado com o dígito das unidades é divisível por 4, Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5, Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3, Divisibilidade por 7 Um número é divisível por 7 quando, ao subtrair o dobro do último dígito do número formado pelos demais dígitos, o resultado é um número divisível por 7, Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando o número formado por seus três últimos dígitos é divisível por 8 (isto inclui o caso em que o número termina em 0 0 0 ). Divisibilidade por 9 É divisível por 9 todo número em que a soma de seus dígitos constitui um número múltiplo de 9, Divisibilidade por 1 0 Um número é divisível por 1 0 quando terminar em 0, Divisibilidade por 1 2 Um número é divisível por 1 2 quando é divisível por 3 e por 4, Divisibilidade por 1 5 Um número é divisível por 1 5 quando é divisível por 3 e por 5,

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