Uma Formiga: Explorando as Possibilidades em um Quadriculado
Uma formiga, inicialmente no vértice A, anda sobre as linhas do quadriculado da figura, sempre para a direita ou para cima, até chegar ao vértice B. De quantas maneiras ela pode fazer isso passando por algum dos quatro pontos destacados?
Uma Formiga e o Desafio do Quadriculado
Imagine uma formiga, inicialmente posicionada no vértice A de um quadriculado, desafiada a encontrar seu caminho até o vértice B. Parece simples, não é? Mas há um toque intrigante: a formiga só pode se mover para a direita ou para cima. Além disso, há quatro pontos destacados no caminho. Vamos mergulhar nesta questão intrigante e descobrir quantas maneiras a formiga pode completar sua jornada, passando por pelo menos um dos quatro pontos destacados.
Entendendo a Tarefa
Antes de começarmos a contar as possibilidades, precisamos entender o escopo do problema. A formiga tem que se deslocar do ponto A para o ponto B, e seu movimento está restrito às linhas do quadriculado, sempre se movendo para a direita ou para cima. No entanto, o desafio está em contar quantas maneiras diferentes ela pode fazer isso, garantindo que em algum momento de sua jornada, ela passe por pelo menos um dos quatro pontos destacados.
Vamos analisar este problema passo a passo.
Dividindo em Etapas
Para abordar esse problema de maneira sistemática, podemos dividir em quatro partes, cada uma correspondendo a um dos pontos destacados (P1, P2, P3 e P4).
P1: O Primeiro Ponto Destacado
Para a formiga passar por P1, ela deve primeiro se mover três unidades para a direita e depois duas unidades para cima, chegando a B. Podemos visualizar isso da seguinte forma:
Aqui, “A” representa o ponto de partida de a formiga, e “P1” é o ponto destacado. Para chegar a B, ela precisa fazer três movimentos para a direita (R) e dois movimentos para cima (U). Agora, vamos calcular quantas maneiras diferentes ela pode fazer isso.
O número de caminhos que passam por P1 é igual ao número de sequências de cinco letras formadas por três “R” (representando “right”) e duas “U” (representando “up”). Isso pode ser calculado usando combinações, resultando em 5!/(3!2!) = 10 caminhos diferentes que passam por P1.
P2: O Segundo Ponto Destacado
Para a formiga passar por P2, ela deve primeiro se mover duas unidades para a direita e depois três unidades para cima, chegando a B. Visualmente, temos:
Da mesma forma que fizemos com P1, o número de caminhos que passam por P2 é igual ao número de sequências de cinco letras formadas por duas “R” e três “U,” que é novamente 10 caminhos diferentes.
P3 e P4: Terceiro e Quarto Pontos Destacados
Para a formiga passar por P3 ou P4, ela deve primeiro chegar a um dos pontos P1 ou P2 e depois seguir para B. Portanto, o número de caminhos que passam por P3 ou P4 é igual à soma dos caminhos que passam por P1 e P2, que é 10 + 10 = 20 caminhos diferentes para cada um desses pontos.
Somando as Possibilidades
Agora que determinamos o número de caminhos para cada ponto destacado, podemos calcular o número total de caminhos que passam por algum desses pontos.
- Para P1: 10 caminhos
- Para P2: 10 caminhos
- Para P3 ou P4: 20 caminhos cada
Somando todas as possibilidades, obtemos 10 + 10 + 20 + 20 = 60 caminhos diferentes que passam por pelo menos um dos quatro pontos destacados.
Conclusão
Assim, desvendamos o mistério dos caminhos de uma formiga em um quadriculado, contando o número de maneiras que ela pode completar sua jornada, passando por algum dos quatro pontos destacados. A resposta é 60 caminhos diferentes. Portanto, a alternativa c) 36 apresentada no início está incorreta. A formiga tem mais possibilidades do que o inicialmente previsto, tornando esse desafio ainda mais fascinante.
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