Uma pessoa Determinação da altura de uma árvore a partir de um ângulo de observação
Uma pessoa de 1,70m de altura observa o pássaro no topo de uma árvore formando um ángulo de 30 com a horizontal, como mostra a figura. Sabendo que ele está a 10m de distância da árvore, determine a altura da árvore
O que são relações trigonométricas?
As relações trigonométricas são fundamentais para o estudo da geometria e têm aplicações em diversos campos, incluindo física, engenharia, geodésia e astronomia. Elas são baseadas na análise das proporções entre os lados de triângulos retângulos e estão intimamente relacionadas com as medidas dos ângulos formados por esses triângulos.
Em um círculo trigonométrico, podemos formar um triângulo retângulo ao traçar um ângulo a partir do ponto central do círculo até a circunferência. Nesse triângulo, um dos ângulos é de 90 graus, e os lados têm denominações específicas. O lado oposto ao ângulo é chamado de “cateto oposto”, o lado adjacente ao ângulo é chamado de “cateto adjacente”, e o lado oposto à hipotenusa é chamado de “hipotenusa”.
Determinando a altura da árvore
Suponha que uma pessoa com altura de 1,70 metros observe um pássaro no topo de uma árvore a uma distância horizontal de 10 metros. A pessoa observa o pássaro formando um ângulo de 30 graus com a horizontal, como ilustrado na figura
tangente = cateto oposto / cateto adjacente
Nesse caso, podemos usar a função tangente para encontrar a relação entre a altura da árvore e a distância horizontal. A tangente do ângulo de 30 graus é calculada da seguinte forma:
ou seja,
tan(30°) = h / d
onde h representa a altura da árvore e d é a distância horizontal entre a pessoa e a árvore (nesse caso, 10 metros).
O valor tabelado da tangente de 30 graus é igual a √3 / 3 (aproximadamente 0,5774). Portanto, podemos escrever a equação da seguinte forma:
0,5774 = h / 10
Multiplicando ambos os lados por 10 para isolar a altura h, temos:
0,5774 * 10 = h
5,774 = h
Portanto, a altura da árvore é de aproximadamente 5,774 metros.
Considerando a altura da pessoa
No entanto, devemos considerar que a altura da árvore é medida a partir do solo, enquanto a pessoa está posicionada a uma altura de 1,70 metros acima do solo. Para determinar a altura real da árvore em relação ao solo, precisamos somar a altura da pessoa à medida encontrada:
h = 5,774 + 1,70
h = 7,474
Assim, a altura da árvore é de aproximadamente 7,5 metros.
Conclusão
Utilizando conceitos de trigonometria, foi possível calcular a altura de uma árvore a partir do ângulo de observação e da distância horizontal entre a árvore e a pessoa. Ao aplicar a função tangente e considerar a altura da pessoa, chegamos a um resultado aproximado de 7,5 metros para a altura da árvore. Essa abordagem é útil quando a medição direta da altura não é viável e destaca a importância das relações trigonométricas em problemas do cotidiano e em várias áreas de estudo.
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