Paula Comprou Uma Abordagem Matricial para Determinar Custos
Paula comprou 1 caneta e 2 lápis e pagou R$ 7,00. Carlos comprou 3 canetas e 1 lápis iguais aos de Paula e pagou R$ 11,00. Para saber quanto pagaria por 2 canetas e 1 lápis, Mariana disse aos amigos que bastaria resolver a equação matricial.
O Caso de Paula, Carlos e suas Compras
Paula comprou 1 caneta e 2 lápis, enquanto Carlos adquiriu 3 canetas e 1 lápis, sendo estes últimos idênticos aos de Paula. Seus gastos totais foram de R$ 7,00 e R$ 11,00, respectivamente. O objetivo é determinar o preço individual da caneta e do lápis e, posteriormente, calcular o custo de 2 canetas e 1 lápis.
Formulação Matricial do Problema
Para simplificar e resolver esse problema, podemos usar matrizes. Seja A a matriz dos itens comprados por Paula e Carlos, B a matriz com os preços individuais da caneta e do lápis, e C a matriz dos custos totais das compras. Temos:
A = [1 2; 3 1] B = [Custo da Caneta; Custo do Lápis] C = [7; 11]
A matriz A representa as quantidades de canetas e lápis adquiridos por Paula e Carlos. A matriz B contém os custos individuais da caneta e do lápis, e a matriz C armazena os custos totais das compras.
Resolvendo a Equação Matricial
A equação matricial que representa as compras de Paula e Carlos é dada por A * B = C. Substituindo as matrizes pelos valores dados, obtemos:
[1 2; 3 1] * [Custo da Caneta; Custo do Lápis] = [7; 11]
Simplificando essa multiplicação matricial, obtemos:
Custo da Caneta + 2 * Custo do Lápis = 7 3 * Custo da Caneta + Custo do Lápis = 11
Essas equações representam o valor total gasto por Paula e Carlos em termos dos custos individuais da caneta e do lápis.
Resolvendo o Sistema de Equações
Agora, podemos resolver esse sistema de equações para determinar os valores individuais da caneta e do lápis. Vamos resolver primeiro a segunda equação para Custo do Lápis em termos do Custo da Caneta:
Custo do Lápis = 11 – 3 * Custo da Caneta
Substituindo esse valor na primeira equação:
Custo da Caneta + 2 * (11 – 3 * Custo da Caneta) = 7
Resolvendo essa equação, encontramos:
Custo da Caneta = 3
Substituindo esse valor de Custo da Caneta na equação para Custo do Lápis:
Custo do Lápis = 11 – 3 * 3 = 2
Portanto, Paula pagou R$ 3,00 pela caneta e R$ 2,00 pelo lápis.
Cálculo do Custo de Outras Compras
Para determinar quanto Mariana pagaria por 2 canetas e 1 lápis, podemos usar a matriz B dos custos individuais:
B = [3; 2]
A matriz A’ das quantidades desejadas é dada por:
A’ = [2 1]
Agora, podemos calcular o custo total C’ usando a equação A’ * B = C’:
[2 1] * [3; 2] = [8]
Portanto, Mariana pagaria R$ 8,00 por 2 canetas e 1 lápis.
