Se f:R → e g:R → são funções dadas por f(x) = c + x², onde c ∈ , e g(x) = x, seus gráficos se intersectam quando, e somente quando, c ≤ 1/4. c ≥ 1/4. c ≤ 1/2. c ≥ 1/2. c ≤ 1.
“Quando os gráficos das funções f(x) e g(x) se intersectam?”
Um gráfico de uma função é a representação visual de como a variável dependente (no caso, y) varia em relação à variável independente (no caso, x). Isso é feito plotando os pares ordenados (x, f(x)) em um plano cartesiano.
No caso das funções f(x) e g(x) dadas, podemos plotar os gráficos da seguinte maneira:
Para a função f(x), temos:
f(x) = c + x²
Para cada valor de x, podemos calcular o valor correspondente de f(x). Por exemplo, se x = 0, então f(0) = c. Se x = 1, então f(1) = c + 1² = c + 1. E assim por diante.
Para a função g(x), temos:
g(x) = x
Nesse caso, para cada valor de x, o valor de g(x) será o mesmo que o valor de x. Por exemplo, se x = 0, então g(0) = 0. Se x = 1, então g(1) = 1. E assim por diante.
Agora, vamos plotar os gráficos dessas duas funções no mesmo plano cartesiano:
[Gráfico 1]
Observe que a função f(x) é uma parábola, enquanto que a função g(x) é uma reta. A parábola tem uma curvatura para cima ou para baixo, dependendo do sinal do termo x². No caso da função f(x), o sinal é positivo, então a parábola tem curvatura para cima.
A reta g(x) é a diagonal da figura, dividindo o gráfico em duas metades simétricas. Ela é a representação da função identidade, ou seja, ela retorna o mesmo valor de x para todos os valores de x.
Agora, vamos analisar as condições propostas para ver quando os gráficos dessas duas funções se intersectam:
c ≤ 1/4:
[Gráfico 2]
Nesse caso, a parábola f(x) é muito “achatada”, pois o valor de c é muito pequeno. Ela praticamente se sobrepõe à reta g(x), então os gráficos dessas duas funções se intersectam em praticamente todos os pontos.
c ≥ 1/4:
[Gráfico 3]
Nesse caso, a parábola f(x) é mais “arredondada”, pois o valor de c é maior. Ela ainda se sobrepõe à reta g(
c ≤ 1/2:
[Gráfico 4]
Nesse caso, a parábola f(x) ainda é um pouco “achatada”, mas já se distancia um pouco da reta g(x). Os gráficos dessas duas funções se intersectam em alguns pontos, mas não em todos.
c ≥ 1/2:
[Gráfico 5]
Nesse caso, a parábola f(x) ainda se distancia mais da reta g(x). Os gráficos dessas duas funções se intersectam em apenas alguns pontos, mas não em todos.
c ≤ 1:
[Gráfico 6]
Nesse caso, a parábola f(x) ainda se distancia mais da reta g(x). Os gráficos dessas duas funções se intersectam em apenas alguns pontos, mas não em todos.
Portanto, podemos concluir que os gráficos das funções f(x) e g(x) se intersectam quando, e somente quando, c ≤ 1/4. Isso ocorre porque, quanto menor o valor de c, mais “achatada” fica a parábola f(x), fazendo com que ela se sobreponha mais à reta g(x).
Espero ter ajudado! Qualquer dúvida, é só perguntar.
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