Conceito de arte inovadora em matemática e física

Pesquisadores da Universidade de Amsterdã aplicaram uma estrutura matemática de 40 anos de Jean Écalle para descrever e unificar com eficácia os fenômenos de tunelamento da mecânica quântica. Crédito: SciTechDaily.com

Os pesquisadores usaram com sucesso a matemática de 40 anos para explicar o tunelamento quântico, fornecendo uma abordagem unificada para diversos fenômenos quânticos.

Efeitos mecânicos quânticos, como decaimento radioativo, ou mais geralmente: ‘túnel’, exibem padrões matemáticos intrigantes. Dois investigadores da Universidade de Amesterdão mostram agora que uma descoberta matemática de 40 anos pode ser usada para codificar e compreender completamente esta estrutura.

Física Quântica – Fácil e Difícil

No mundo quântico, os processos podem ser separados em duas classes distintas. Uma classe, a dos chamados fenómenos “perturbativos”, é relativamente fácil de detectar, tanto numa experiência como numa computação matemática. Os exemplos são abundantes: a luz que os átomos emitem, a energia que as células solares produzem, os estados dos qubits num computador quântico.

Estes fenómenos quânticos dependem da constante de Planck, a constante fundamental da natureza que determina como o mundo quântico difere do nosso mundo em grande escala, mas de uma forma simples. Apesar da ridícula pequenez desta constante – expressa em unidades diárias de quilogramas, metros e segundos, ela assume um valor que começa em 34º casa decimal após a vírgula – o fato de que a constante de Planck não é exatamente zero é suficiente para calcular tais efeitos quânticos.

Depois, há os fenômenos “não perturbativos”. Um dos mais conhecidos é o decaimento radioativo: um processo em que, devido a efeitos quânticos, as partículas elementares podem escapar da força atrativa que as liga aos núcleos atômicos. Se o mundo fosse “clássico” – isto é, se a constante de Planck fosse exactamente zero – esta força atractiva seria impossível de superar. No mundo quântico, a decadência ocorre, mas apenas ocasionalmente; um único urânio átomopor exemplo, levaria em média mais de quatro mil milhões de anos a decair.

O nome colectivo para estes eventos quânticos raros é “túnel”: para a partícula escapar, tem de “cavar um túnel” através da barreira de energia que a mantém ligada ao núcleo. Um túnel que pode levar bilhões de anos para ser cavado e que faz The Shawshank Redemption parecer uma brincadeira de criança.

Matemática para o resgate

Matematicamente, os efeitos quânticos não perturbativos são muito mais difíceis de descrever do que os seus primos perturbativos. Ainda assim, ao longo do século de existência da mecânica quântica, os físicos encontraram muitas maneiras de lidar com esses efeitos e de descrevê-los e predizê-los com precisão.

“Mesmo assim, neste problema centenário, ainda havia trabalho a ser feito”, diz Alexander van Spaendonck, um dos autores da nova publicação. “As descrições dos fenômenos de tunelamento na mecânica quântica precisavam de mais unificação – uma estrutura na qual todos esses fenômenos pudessem ser descritos e investigados usando uma única estrutura matemática.”

Surpreendentemente, tal estrutura foi encontrada na matemática de 40 anos. Na década de 1980, o matemático francês Jean Écalle criou uma estrutura que apelidou de ressurgimento, e que tinha justamente esse objetivo: dar estrutura a fenômenos não perturbativos. Então, por que demorou 40 anos para que a combinação natural do formalismo de Écalle e a aplicação aos fenómenos de tunelamento chegasse à sua conclusão lógica?

Marcel Vonk, o outro autor da publicação, explica: “Os artigos originais de Écalle eram extensos – mais de 1000 páginas no total – altamente técnicos e publicados apenas em francês. Como resultado, demorou até meados da década de 2000 para que um número significativo de físicos começasse a familiarizar-se com esta “caixa de ferramentas” do ressurgimento. Originalmente, foi aplicado principalmente a simples “modelos de brinquedo”, mas é claro que as ferramentas também foram testadas na mecânica quântica da vida real. Nosso trabalho leva esses desenvolvimentos à sua conclusão lógica.”

Bela Estrutura

Essa conclusão é que uma das ferramentas da caixa de ferramentas de Écalle, a de uma ‘transsérie’, é perfeitamente adequada para descrever fenômenos de tunelamento essencialmente qualquer problema de mecânica quântica, e o faz sempre da mesma maneira. Ao detalhar os detalhes matemáticos, os autores descobriram que se tornou possível não apenas unificar todos os fenômenos de tunelamento em um único objeto matemático, mas também descrever certos “saltos” no tamanho do papel desses fenômenos – um efeito conhecido como Stokes. ‘ fenômeno.

Van Spaendonck: “Usando nossa descrição do fenômeno de Stokes, fomos capazes de mostrar que certas ambigüidades que atormentavam os métodos ‘clássicos’ de cálculo de efeitos não perturbativos – infinitos, na verdade – foram todas eliminadas em nosso método. A estrutura subjacente revelou-se ainda mais bonita do que esperávamos inicialmente. A transsérie que descreve o tunelamento quântico acaba por se dividir – ou ‘fatorar’ – de uma forma surpreendente: em uma transsérie ‘mínima’ que descreve os fenômenos básicos de tunelamento que existem essencialmente em qualquer problema de mecânica quântica, e um objeto que chamamos de ‘transsérie mediana’ que descreve os detalhes mais específicos do problema, e que depende, por exemplo, de quão simétrica é uma determinada configuração quântica.”

Com esta estrutura matemática completamente esclarecida, a próxima questão é, obviamente, onde as novas lições podem ser aplicadas e o que os físicos podem aprender com elas. No caso da radioatividade, por exemplo, alguns átomos são estáveis ​​enquanto outros decaem. Noutros modelos físicos, as listas de partículas estáveis ​​e instáveis ​​podem variar à medida que se altera ligeiramente a configuração – um fenómeno conhecido como “cruzamento de paredes”. O que os pesquisadores têm em mente a seguir é esclarecer essa noção de travessia de muros usando as mesmas técnicas. Este difícil problema foi novamente estudado por muitos grupos de muitas maneiras diferentes, mas agora uma estrutura unificadora semelhante pode estar ao virar da esquina. Certamente há luz no fim do túnel.

Referência: “Transséries instantâneas exatas para mecânica quântica” por Alexander van Spaendonck e Marcel Vonk, 12 de abril de 2024, Física SciPost.
DOI: 10.21468/SciPostPhys.16.4.103



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